arys 的博客

软件分析—期末笔记

Wed, 13 May 2026 00:00:00 GMT

🗒️

这是南京大学软件分析的期末复习笔记，总结了笔者认为期末可能会涉及的内容。详细版笔记强烈建议参考助教笔记，内容十分全面。

第一部分：程序的表示

概述

Soundness 和 Completeness

完全性（Soundness）：只要是真的，都可以由 S 给出

正确性（Completeness）：S 给出的都是真的

sound 的静态分析居多，即宁误报不漏报。

Sound 静态分析：over approximate (false positive)

Complete 静态分析：under approximate (false negative)

静态分析就是：抽象和过近似

对程序的具体值和抽象值建立映射，此函数为状态函数（State function）

针对抽象值进行运算（解析）（Evaluate）的函数为转移函数（Transfer function）

程序的中间表示

三地址码（Three-address code, TAC）：一种 IR，每条指令最多有三个地址

控制流图（Control Flow Graph, CFG）：由 Basic Block 组成，BB 指的是只能从首指令进入，从尾指令流出的最长指令序列

入口语句包括：

程序第一条语句
跳转的目标语句
条件跳转的下一条语句

BB：

第二部分：数据流分析及其应用

Reaching-Definitions

过近似、正向分析

过近似：到达定值用于优化无用赋值，必须有 100% 的把握保证一个定义不会被用到，才能优化

数据抽象：程序中所有的定义，使用位向量表示

Meet Operator:

Node Transfer:

: B 中的赋值

: 不在 B 中、左值出现在 B 赋值中的赋值

初始化：

OUT[Entry]：

OUT[其余]：

结束条件：OUT 不变

Live-Variables-Analysis

过近似、逆向分析

过近似：活跃变量分析用于寄存器分配

数据抽象：程序中所有的变量，使用位向量表示

Meet Operator:

Node Transfer:

初始化：

IN[Exit]:

IN[其余]:

一个比较 tricky 的地方：基本块（有多条语句）的 def 和 use 是什么？

def[B]: 在 B 中被赋值的变量

use[B]: 在 B 中第一次被赋值前就被使用

结束条件：IN 不变

Available-Expressions-Analysis

欠近似、正向分析

欠近似：防止优化不能被优化的表达式

x op y 可用：

从程序入口到程序点 p 的所有路径必须经过求值 x op y

在最后一次求值之后，没有 x 或 y 的重定义

易错例子：
c=e^16 * x 这句中，表达式 e^16 * x 是可用的

数据抽象：程序中所有的表达式

Meet Operator:

Node Transfer:

初始化：

OUT[Entry]:

OUT[其他]:

总结

ㅤ	定义可达性分析	活跃变量分析	可用表达式分析
定义域	定义集的幂集	变量集的幂集	表达式集的幂集
方向	正向分析	逆向分析	正向分析
估计	过近似	过近似	欠近似
边界
初始化
状态转移
交汇

数据流分析的基础

数据流分析→数学表示

抽象：CFG 中的每个节点数据流值组成一个元组

迭代：每次迭代相当于一个函数作用在元组上产生一个新的元组

终止：连续两次迭代结果完全相同

定义：

偏序集：集合 + 二元关系（自反、传递、反对称）

bound

最小上界（LUB）：
最大下界（GLB）：
Join：, Meet：

定理：一个偏序集如果存在 LUB 和 GLB，则是唯一的

格：任意两元素的 join 和 meet 都存在

全格：所有子集都有最小上界和最大下界

定理：有限格都是全格

数据流分析的迭代算法的时间复杂度为，其中为 CFG 的结点个数，为定义域格的高度

过程间分析

Java 中的方法调用：

静态调用：静态方法

特殊调用：构造函数，私有实例方法，基类实例方法

虚调用：其他的实例方法（运行时才可以确定）

方法的 Dispatch：

Dispatch(c,m)：c 是接受对象的类型，m 是方法签名

过程：从接受对象所在的类开始，按照从子类向到基类的顺序查找，直到找到一个方法名和描述符都相同的非抽象方法为止

类层级结构分析（Class Hierarchy Analysis，CHA）

调用点的 Resolve：

Resolve(cs)：返回调用点 cs 可能调用的所有方法

过程：设 c 为调用点接受对象的声明类型，m 为调用点处的函数签名。对 c 的所有子类（直接、间接子类）c’，将 Dispatch(c’,m) 加入返回值集合

易错点：是将 c 所有子类 Dispatch 的方法加入，如：

对于 B b = ...，

有 A.foo() 的原因是 Dispatch(B, foo()) 返回 A.foo()

CHA 的特点：

优点：快

只考虑了调用点处接收对象的声明类型及其继承结构
忽略数据流和控制流信息

缺点：不精确

很容易引入虚假的目标方法

通过 CHA 构建调用图（Call Graph Construction）的方法：

从入口方法开始（通常为main方法）

对于每个可达的方法 m，通过 CHA 解析 m 中的每个调用点 cs 的目标方法，即 Resolve(cs)

重复上述过程，直到没有发现新的方法为止

ICFG：过程间控制流图

call edge: 传参

return edge: 传返回值

call-to-return edge: 传 local 数据流

过程间数据流分析 = 节点转移 + 边转移

Edge Transfer（以过程间常量传播为例）：

Normal Edge: 恒等函数

Call-Return Edge: kill 左值变量，其余不变

Call Edge: 传参

Return Edge: 传返回值

第三部分：指针分析及其应用

指针分析： May analysis，分析程序中的一个指针可能会指向哪些内存区域

别名分析：

两个指针互为别名：两个指针指向同一块内存区域（对象）

指针分析回答的是一个指针可能会指向哪些对象，别名分析回答的是两个指针是否会指向同一个对象

堆抽象：

Allocation Site Abstraction: 将一个分配点（new 语句）分配的所有对象，抽象成为一个对象

call 时不添加作为 PFG 的边: 因为可以更精确地被处理（仅在时才将加入到中）

上下文敏感（C.S.）

上下文敏感的堆

为什么需要 CS Heap：如果没有 CS Heap，不同上下文调用方法时，被调用方法的内部产生的对象仍然被混在一起，精度提升不明显

在上下文不敏感分析中，CS Heap 不会对精度有提升作用！！

在方法调用时，会使用为目标方法选择一个上下文，不同的上下文策略仅是不同（解耦），其余框架相同

上下文敏感的几种变体

调用点敏感（Call-Site Sensitivity）

Intuition：既然上下文是调用产生的，那么就将调用点作为上下文（记得从哪里来）

实际中为 -Limiting Context Abstraction，方法上下文和堆上下文可能会使用不同的

对象敏感（Object Sensitivity）

Intuition：既然数据是由对象携带的，那就将每次调用的接受对象（receiver object）作为上下文（记得我是谁）

也可以限制上下文的尺寸

类型敏感（Type Sensitivity）

表示在哪个类被创建（container）

在相同的下类型敏感的精确性对象敏感，因为类型敏感是对象敏感的抽象

对比：在 OO 语言的实践过程中，有如下结论：

精度：Object > Type > Call-Site

效率：Type > Call-Site > Object

污点分析

Sources：污点源方法的集合（会返回污点数据的方法调用）

Sinks：带有敏感参数的水槽方法的集合（元组，表示方法的第个参数是 sink）

信息流安全（Information Flow Security）是指通过追踪信息是如何在程序中流动的方式，来确保程序安全地处理了它所获得的信息。

机密性（Confidentiality）指的是阻止机密的信息泄漏

信息只能从低机密的数据流向高机密

读保护

完整性（Integrity）指的是阻止不信任的信息污染受信任的关键信息

不允许信息从不信任流向信任

注入攻击破坏了完整性

显示流：信息可以通过直接拷贝的方式进行流动

隐式流：信息可以通过影响控制流的方式向外传递

信道：计算系统中指示信息的机制

指示信息的机制的本意并不是信息传递，这样的信道称为隐蔽信道：隐式流、终止信道、时间信道、异常

数据结构—期末笔记

Fri, 03 Jan 2025 00:00:00 GMT

🗒️

这篇是南京大学数据结构 24 Fall 的期末复习笔记。

栈

一个栈 (无穷大) 的进栈顺序 1, 2, ⋯, n 有多少个不同的出栈顺序?卡特兰数:

中缀表达式转后缀表达式

代码实现引入: 操作符优先级, 分栈内和栈外. 当遇到操作数时, 直接输出. 当遇到操作符时: 如果当前操作符的栈外优先级大于栈顶操作符的栈内优先级, 当前操作符进栈, 否则 pop 栈顶操作符并输出.

人工: 按照中缀表达式的运算顺序, 先算哪个就先转哪个.

数组, 串与广义表

字符串

KMP 算法

简介: 通过预处理目标字符串, 避免在查找时产生回溯, 线性复杂度.
next 数组

查找

广义表

表的第一个元素称为广义表的表头(head), 其它表元素组成的表称为广义表的表尾(tail)

长度: 元素个数, 子表算一个元素

深度: 最多能脱几层括号. 空表的深度为 1.

类型定义

节点类型 utype: 表头(0), 原子数据(1), 子表(2)
信息 info: 表头的信息是引用计数, 原子数据的信息是其值, 子表的信息是子表指针.
尾指针 tlink: 表头的尾指针指向表的第一个节点, 其他的尾指针指向同一层的下一个节点.

示例

广义表的图形表示和存储表示

广义表的复制: 标准的 DFS 递归算法

广义表的删除:

算法

引用计数 -1
如果引用计数为 0, 横扫表顶层, 遇到原子节点(即 utype = 1)直接删掉, 遇到子表节点(即 utype = 2)先递归调用删除子表节点指向的子表, 然后删除子表节点.
注意: 只有表头(即 utype = 0 的)节点需要调用 remove 进行递归删除.

示例

B G H F C L K J I D E A

树

二叉树

对任何一棵二叉树, 如果其叶结点有 n0 个, 度为 2 的结点有 n2 个, 则有 n0 = n2 + 1

推导: 二叉树有 n 个顶点, n - 1 条边, n = n0 + n1 + n2, n - 1 = 2n2 + n1, 移项可得
即: 二叉树的叶子结点总比度为 2 的结点多一个.

具有 n 个结点的完全二叉树的深度为

二叉树的表示

顺序表示

用数组, 适合表示完全二叉树, 如: -1 1 2 3 4 5 6 7 8

这种情况下, 假设一个结点位于下标 i, 那么其父结点位于 i / 2, 左子结点位于 2 * i, 右子结点位于 2 * i + 1

前序遍历的非递归算法: 拿到一个结点, 先访问, 然后将右子树压栈, 进入左子树. 当进入的是空树时, 退栈并拿到栈顶元素访问(重复).
中序遍历的非递归算法: 拿到一个结点, 先将其压入栈中, 然后拿到左子树访问. 当访问的是空树时, 退栈, 拿到栈顶元素, 先访问, 然后拿到右子树(重复).
后序遍历的非递归算法: (后序遍历的非递归算法要求必须知道栈中结点是第几次退栈, 这里我们假设将一个计数和结点一起压栈.) 拿到一个结点, 先将其压入栈中(with 0), 然后拿到其左子树(重复). 当进入空树时, 退栈, 拿到栈顶元素, 看其计数. 若为 0, 则拿到其右子树(重复). 若为 1, 则访问, 并再次退栈, 拿到栈顶元素(重复).
层序遍历算法: 用一个队列, 每当拿到一个节点, 先访问, 然后将左右子树按顺序入队, 再拿到队首元素(重复).
在二叉树的遍历中, 前序和后序遍历不可以用来确定一棵唯一的二叉树(左右子树无法区分).

树对应的二叉树: 子女-兄弟表示法. 示例:

森林对应的二叉树: 先将各树转换为对应的二叉树, 然后把第二棵树的根节点作为第一棵树的右子树, 第三棵树的根节点作为第二棵树的右子树, 以此类推.

根结点的高度为 .

线索化二叉树

基本概念

线索(Thread):

如果一个节点的左子节点为空, 则该节点的左指针指向该节点的前驱节点.

如果一个节点的右子节点为空, 则该节点的右指针指向该节点的后继节点.

线索化:

按照某种遍历方式, 将二叉树中的空指针替换为指向前驱或后继节点的指针的过程称为线索化.

数据结构:

代码实现思路: 在X序遍历的函数中, 添加一个参数 pre 作为当前结点的前驱. 拿到一个结点, 若空返回. 检查其左子树, 若不空则递归调用, 若空则 root->left = pre. 检查前驱, 若 pre != NULL && pre->right == NULL, 则 pre->right = curr;. 递归调用其右子树.

多叉树

先根遍历与这棵树对应的二叉树的前序遍历结果相同.
后根遍历与这棵树对应的二叉树的中序遍历结果相同(存疑, 这是 PPT 上的说法, 实际上应该对应后序遍历).
用”子女-兄弟表示法”表示森林, 就相当于把第一棵树的根作为根, 将其他树作为这个根的后继.

哈夫曼树

路径长度

结点间的路径长度 (Path Length) = 两点之间的边数
树的外部路径长度 (External PL) = 叶结点到根结点路径长度之和
树的内部路径长度 (Internal PL) = 非叶结点到根结点路径长度之和
带权路径长度 (Weighted PL) = (叶结点到根结点路径长度 * 叶结点的权值) 之和

哈夫曼树的定义: 带权路径长度达到最小的扩充二叉树
构造方法: 选择两个最小的权值, 构造一棵二叉树, 这棵新树的权值就为两个子节点权值之和. 重复至只剩一个结点.
特点: 权值大的节点离根近
哈夫曼编码: 前缀码. 一个叶结点的权值表示它在串中出现的次数.

集合与字典

并查集

单数组 + 按秩合并 + 路径压缩的并查集

散列表

数字分析法：计算符号分布均匀度值。

仅用于事先明确知道表中所有关键码每一位的数值分布情况。
本质：已知离散的均匀分布，计算方差。
n 个 d 位数，每一位上可能有 r 个不同的符号，每种符号出现的机会均等。公式如下：表示第 i 个符号在第 k 位上出现的次数。

线性探查法（Linear Probing）（闭散列法处理冲突）

插入：计算 hash，从 hash 为下标开始找第一个空地插入（若查到数组尾可从头开始）。
查找：计算 hash，从 hash 为下标开始找，直到找到元素，或找到空地查找失败。
搜索成功的搜索长度：表中所有的元素各查找一遍，计算平均值。
搜索失败的搜索长度：表中_可以被 hash 覆盖_的下标各进行一次查找失败，计算平均值。
注意：内部的数组长度可能比 hash 覆盖的要长，这一部分是为了处理冲突使用的。

二次探测再散列

计算出 hash 值后，如果有冲突，依此检测以下位置：hash+1^2, hash-1^2, hash+2^2, hash-2b^2, … , hash+k^2, hash-k^2

链地址法（开散列法处理冲突）

搜索成功的搜索长度：

搜索失败的搜索长度：设空表的长度为 1，则所有表长度之和的平均值。

搜索结构

搜索判定树

用圆圈表示有值节点，用方框表示空节点（搜索失败的点）
计算搜索长度时注意：判断节点为空不算一次搜索次数。
例题：有序顺序表中的元素为：17, 94, 154, 170, 275, 503, 509, 512, 553, 612, 677, 765, 897, 908. 求折半搜索的判定树和搜索成功/失败的平均搜索长度。

二叉搜索树

性质：左小右大。
对 BST 进行中序遍历，可以得到一个从小到大的序列。
删除：叶子直接删；左/右为空则用右/左替代；都不为空则选择右子树最左节点替代，并改为删除该节点。

AVL 树

节点的平衡因子：右子树的高度减去左子树的高度的高度差（右-左）。
插入的平衡化旋转

判断方法：插入后，从插入结点沿通向根的路径向上回溯。如果在某一结点发现高度不平衡，停止回溯。从发生不平衡的结点起，沿刚才回溯的路径取直接下两层的结点（即从不平衡节点沿着插入路径取两个节点）。再根据下图进行判断：

删除的平衡化旋转

删除方法和 BST 相同（中序的直接前驱或后继替代）
维护一个 shorter 变量，若 shorter 为 True 说明树被缩短，需要继续检查。若为 False 则说明树没有缩短，则无需向上继续检查。
在 shorter 为 True 时执行以下检查：

当前节点的 bf 为 0，则将 bf 改为 1 或 -1，并停止检查。
当前节点的 bf 不为 0 且较高的子树被缩短，则将 bf 改为 0，还需要继续向上检查。
当前节点的 bf 不为 0 且较矮的子树被缩短，则设当前节点为 p，较高子树根为 q，根据 bf 进行操作：

若 q 的 bf 为 0，则执行一个单旋转，并停止检查。

若 p 和 q 的 bf 相同，则执行一个单旋转，并将 p 和 q 的 bf 均设置为 0，还需要继续向上检查。
若 p 和 q 的 bf 异号，则执行双旋，将根节点的 bf 设置为 0，继续向上检查。

性能分析：搜索、插入、删除（并作平衡化旋转）的时间复杂度

图

图的表示

演示示例：

注：XX表分为顶点表和边表。顶点表存放该顶点的名字和边链表头指针。一般在顶点表左侧编号，在边链表中就用编号代替节点。边链表中的节点按照表的要求存放不同数据。

有向图的逆邻接表（入边表）

无向图的邻接多重表

顶点节点：名称 + 第一条出边。（这里的排序按照 pair 规则，小的在前）

边节点：mark | v1 | v2 | path1 | path2

mark 记录是否处理过的标记，v1 v2 表示该边两个的节点，path1 指向 v1 的下一条边，path2 指向 v2 的下一条边。

例图：

注意这里画的看上去 v2 的边链表头指针指向的是 1-2 边的末尾，其只是为了在视觉上像链表，和 v1 指向的是一个东西。

要点：先画边再连线。

有向图的邻接多重表（十字链表）

顶点节点：data | first in | first out

data 表示名称，first in 指向以该节点为终点的第一条边，first out 指向以该节点为起点的第一条边。

边节点：mark | v1 | v2 | path1 | path2

mark 是处理标记，v1 和 v2 为起点和终点，path1 指向以 v1 为起点的下一条边，path2 指向以 v2 为终点的下一条边。

最小生成树

Prim

描述: 从任意一个顶点开始, 每次选择一个与当前顶点集最近的一个顶点, 并将两顶点之间的边加入到树中 (贪心).
时间复杂度
适用于稠密图

Kruskal

描述：每次在 E 中选择一个最小权值的，落在两个连通分量之间的边。
时间复杂度 (E < V^2). if pre sorted.
适用于稀疏图

当有相同权值的边时，产生的最小生成树可能不唯一。

最短路

非负权值单源最短路（Dijkstra）

广度优先搜索：基于 当前节点到源点的累计距离 来排序。

时间复杂度

非堆优化（线性查找）：
堆优化（二叉堆）：

记录路径的算法示意：

所有顶点之间的最短路（Floyd）

可以处理负边，不能处理负圈。

时间复杂度：，空间复杂度

算法示意：

活动网络

AOV 网络（Activity On Vertex，用顶点表示活动的网络）

拓扑排序：不能存在有向环，时间复杂度

AOE 网络（Activity On Edges，用边表示活动的网络）

工程只存在一个开始点（源点）和结束点（汇点）。
“事件”指的是一个顶点，这个顶点一般有多条边，“活动”指的是一条边。事件开始，活动不一定开始，一个事件的多个活动可以在不同的时间开始。因此 [事件的最早开始时间] 指的是源点到该事件的最长路径，[活动的最早开始时间] 和 [事件的最早开始时间] 相同。事件的开始一定伴随着活动的开始，但不一定是所有活动开始。
算法：

事件的最早开始时间：源点到该点的最长路径。简单起见，为 max(其所有前驱的最早开始时间 + 边长度)。
事件的最晚开始时间：min(其所有后继的最晚开始时间 - 边长度)
活动的最早开始时间：= 事件的最早开始时间
活动的最晚开始时间： = j 事件最晚开始时间 - 边长度

示例：

排序

插入排序

直接插入排序

从第一个元素开始，将后面的元素插入前面元素形成的序列中。将每次插入的元素放入 temp 变量暂存（方便腾地方）。
稳定。适用于基本有序的序列。
时间复杂度：平均情况下，

折半插入排序

直接插入的改进，利用序列的有序性进行折半查找。
稳定。
时间复杂度：

希尔排序

逐渐缩小增量的分组插入排序。
不稳定。
示例：

快速排序

选一个 pivot，通常为第一个。维护一个 pivot pos 为 left。从第二个元素开始，每次发现比 pivot 小的元素（i），pivot pos ++，并交换 pivot pos 处的元素和 i 处的元素。最后将 pivot pos 处的元素和首位元素交换。并对两侧的序列递归操作。
不稳定。
时间复杂度：平均，最坏情况退化为

选择排序

直接选择排序

每次从后面的序列中选择一个最小的，和前面序列尾部元素交换。
不稳定。
时间复杂度：

锦标赛排序

胜者树：一棵完全二叉树。其中的叶结点是要排序的元素，非叶结点是两个子结点中胜者的代表。根节点代表着所有元素中的胜者。胜者树一般存放待排序元素的下标（当然如果元素足够基本，也可以直接存放元素）。
注：当某个叶子被标记为时，其兄弟直接上浮，这不算一次比较（与无穷比较不算比较，因为只需要看对方是否为无穷，并不需要真正比较）。
稳定。（相同元素，左边先出）
时间复杂度：。空间复杂度：。

堆排序

为了从小到大排序，需要建立最大堆。使得堆顶始终在数组的起始地址，便于维护堆。
不稳定。
时间复杂度：。空间复杂度：。

归并排序

见图：

稳定。
时间复杂度：。空间复杂度：。

各种排序方法的比较

文件、外部排序与外部搜索

B 树

定义，m 阶 B 树

每个节点最多有 m-1 个关键码
根节点可以只有 1 个关键码
非根节点（不包括失败节点）至少有个关键码（失败节点至少有个）。
所有的叶节点（失败节点）都位于同一层。

结论

B 树第 h 层至少有个节点。
树中关键码有 N 个，N + 1 = 失败节点数 = 位于 h + 1 层的节点数，N + 1 ，。

插入

分裂操作：将第 m / 2 个元素当作新根，这个新根上移到父节点，新根的左右指针分别指向左、右两部分。

删除

若该节点不是叶节点，则用左子树最大或右子树最小来替换。
在叶节点上的删除

如果在根节点，或删除前关键码，则直接删除。
如果删除前关键码数量，但是其兄弟关键码，则将根下移作为删除节点的补充，从兄弟节点选一个作为新根。
如果删除前关键码数量和其兄弟的关键码数量均，则需要合并这两个节点。合并时将父节点指针下移与两个节点合并为一个节点。然后向上检查，最坏情况必须检查到根节点。（保证失败节点都在一层，不在一层肯定不对）
图例：

B+ 树

区别：所有关键码都存放在叶结点中，上层的非叶结点的关键码是其子树中最小（或最大）关键码的复写。叶结点包含了全部关键码及指向相应数据记录存放地址的指针，且叶结点本身按关键码从小到大顺序链接。
定义：m 阶 B+ 树（最大关键码覆写）

每个节点最多 m 棵子树
根节点最少 1 棵子树，其他节点至少棵子树。
所有叶节点在同一层，按从小到大的顺序排列。

插入：

插入仅在叶节点上进行。每次插入都要检查是否超出 m 个。
若超出，则进行分裂。原则是左多右少。（左，右）。分裂后将缺少的最大值复制一份放入根节点。
示例：4 阶 B+ 树，最大关键码覆写，插入 53, 63, 90, 88, 15, 10, 44, 68, 74

提示：注意下面红色的箭头不要忘了。

删除

删除仅在叶节点上进行。若删除后关键码，则直接删除。若删除的是最大节点，上层的副本可以保留。
若删除后关键码，但兄弟的关键码，则把兄弟最左的拿来，并修改上层分界关键码的值。
如果兄弟的关键码已达下限，那么直接将左右兄弟合并。合并后会导致父节点的关键码数量减少，可能需要再进行合并。

注：第 2 条说的借兄弟的，可能借一个，也可能借一块，如下（根节点的右兄弟向左兄弟借了一块）：

往年卷

长度有限不是算法的基本特征.

带有一个头结点 XX, 这个头结点不算 XX 中的元素. 也就是说, XX 为空等价于只有一个头结点.

一棵有个结点的满二叉树共有个叶子, 个非叶结点.

树的后根遍历序列等同于对该树对应的二叉树进行的序列

二叉树的遍历

前序：根左右，中序：左根右，后序：左右根
前序与中序相同：空树（别忘了！）或左子树为空的单支树
中序与后序相同：空树或右子树为空的单支树
前序与后序相同：空树或只有根的树

并查集

根据树高执行 union：每次都将矮树并到高树上
根据节点个数执行 union：每次都将节点少的树并到节点多的树上

闭散列的线性探查法：ASL不成功的算式中，分数的分母是散列函数可计算的地址范围，非表长度。

线性探查法：

筛选法建堆从最后一个非叶子节点开始。

编译原理—期末笔记

Thu, 09 Jan 2025 00:00:00 GMT

🗒️

这篇文章是南京大学计科编译原理课程的期末复习笔记。由于笔者在大二上修读，比计划时间早了一年，是班级上唯一的 23 级学生，所以在这门课上的复习下了很大功夫。在学习过程中也线上学习了软院蚂蚁老师的编译原理课程，十分有收获（同时痛恨自己知道蚂蚁太晚，没有在学习 C 语言时看 CPL 视频😭）。

英文缩写

题型：给英文缩写，要求写出全称 + 意思

RE: Regular Expression，正则表达式。一种描述词素模式的表示方法。

NFA: Nondeterministic Finite Automaton，非确定性有限自动机。等价于状态转换图。NFA 允许非确定性和转移。（NFA 由一个有穷状态集合 S，一个输入符号集合，和转换函数组成。S 中的一个状态被指定为开始状态，S 的一个子集被指定为接受状态。）

DFA: Deterministic Finite Automaton，确定性有限自动机。DFA 的状态转移规则都是明确的。

CFG: Context Free Grammar，上下文无关文法。上下文无关指的是非终结符的推导和其前后串无关。由一个开始符号，终结符号，非终结符号和一组产生式构成。

AST: Abstract Syntax Tree，抽象语法树。每个结点代表一个语法结构；对应于一个运算符。结点的每个子结点代表其子结构；对应于运算分量。

DAG: Directed Acyclic Graph，有向无环图。指的是一个没有环的、有限的有向图。

SSA: Static Single Assignment，静态单赋值。SSA 中的所有赋值都是针对不同名的变量。每个变量在生命周期内只被赋值一次，每次赋值都会创建一个新变量。

SDD: Syntax Directed Definition，语法制导的定义，是对上下文无关文法的推广。将文法符号和一个语义属性集合关联，产生式和一组语义规则相关联。

SDT: Syntax Directed Translation，语法制导的翻译，是在产生式体中嵌入程序片断（语义动作）的上下文无关文法。

词法分析

题型：

根据描述写出正则表达式

画出状态转换图 NFA

NFA -> DFA

DFA 状态最小化

考试注意

自动机开始状态要用箭头 + start 指出，接受状态画两个圈。

状态转换图和 DFA 要给状态标号。

例：( | b)*ab)* 完成后三步

正则 -> NFA，按照 Thompson 构造法的三种模式。

或操作（新建两个状态）：

连接操作（直接并在一起）：

闭包（新建两个状态，两个 epsilon 转移）：

NFA 的转换函数：用语言描述为 “状态 0 接受 a 转换到状态 0, 1”，(0, a) -> {0, 1}

NFA -> DFA：子集构造法。一开始 DFA 的 states 中只有一个 closure(s0)，对 states 中的每一个状态，都求出对每一个输入字符 c 的 closure(move(T, c))，如果在此过程中产生了新的状态，则加入 states。最后所有的状态经过每个字符都能到达 states 中一个确定的状态。

DFA 最小化。

算法：从原理上讲，先将状态集合分为两个：结束状态和其他状态，然后再假设某两个状态相同，看有没有一个输入可以区分它们。如果在所有输入下这些状态要么回到自身的集合，要么到达相同的集合，那么它们等价。

对最小化的 DFA 来说，开始状态即为有开始状态的那个组，结束状态即为有结束状态的那个组。

做题时直接瞪眼看出哪两个状态是等价的，然后再试图证明。

例题：由字符 ‘a’, ‘b’ 组成的，不含连续两个 ‘a’ 的字符串。

语法分析

消除左递归

消除立即左递归

公式：重要！！不要忘记 A’ 这个一撇和 epsilon ！！

推广：

消除多步左递归

判断方法：给非终结符号排序。原理上可以任意排序，实际操作时一般按照从开始符号推导的顺序排序，这样在下一步时只需要看靠右的能否推导出靠左的即可。考试时最多迭代两次。

消除方法：替换并消除。注意！！替换时要全部替换！无论产生式有没有产生左递归，都要替换。

例子：

提取左公因子

找出可选项中的最长公共前缀。注意！！如果有一个产生式就是那个公因子，则不能遗忘 epsilon ！！！

预测分析

FIRST() 集合：可以从推导得到的串的首符号的集合。方法：不断展开直到开头为终结符。计算方法：

FOLLOW(A) 集合：可能在某些句型中紧跟在 A 后面的终结符号。计算方法：

注意：FIRST 和 FOLLOW 集合均为终结符号！两个例外：若可推导出 epsilon，则 epsilon 在 FIRST() 中；FOLLOW(开始符号) 含有 $，如果 A 是某些句型的最右符号，那么 $ 在 FOLLOW(A) 中。

要点：先写 FIRST 再写 FOLLOW，由 FIRST 推 FOLLOW。

预测分析表

构造方法：如果 t 在 FIRST(A) 中或者且 t 在 FOLLOW(A) 中，则在 table[A][t] 中填入

出错的格子留空即可（或者填 Error，但是要填就都要填上，不如留空）

LL(1) 文法：预测表中每个条目都唯一地指定了一个产生式，或者标明 Error。

非 LL(1) 文法或二义性文法：一个条目中有多个产生式。

重写非 LL1 文法使其变为 LL1：不断进行提取左公因子和消除左递归的过程。

句柄是最右推导的反向过程中被规约的部分。

在移入 / 归约分析框架中，句柄始终出现在栈顶。

移入 / 归约冲突：栈中的内容和接下来的k个输入符号，都不能确定进行移入还是归约操作（不能确定是否是句柄）。

归约 / 归约冲突：存在多个可能的归约到不同非终结符号的归约（不能确定句柄归约到哪个非终结符号）。

规范 LR(0) 项集族的构造

增广文法：G 的增广文法 G’ 是在 G 中增加新开始符号 S’，并加入产生式 S’->S 而得到的

子函数：CLOSURE(I)：I 的项集闭包（对应 DFA 化算法的 closure）。GOTO(I,X)：I 的 X 后继（对应 DFA 化算法的 MOVE(I,X)）。

内核项：初始项 S’ -> ·S 以及所有点不在最左边的项。

非内核项：除了 S’ -> ·S 所有点在最左边的项。

例：根据以下产生式，给出 LR(0) 项集规范族。

灰色部分（非内核项，CLOSURE）的构造：

注：非内核项的点在最左边。

SLR 语法分析表的构造

ACTION 全是终结符号。s5 表示移入状态 5，r5 表示利用第 5 条产生式归约。GOTO 全是非终结符号，1 表示去到第 1 个状态。

构造方法：

即：点右边有东西就填入 sX。点右边没东西就在 FOLLOW(A) 填入 rX，如果 A 是增广文法的 S’，则填入 acc。

例题：

语法制导的翻译

注释语法分析树

综合属性：分析树上非终结符号的属性值由子节点及本身的属性值来定义。

继承属性：依赖于父节点、本身和兄弟节点（一般是左侧）的属性值。

终结符号都是综合属性，从词法分析获得。

S 属性的 SDD：只含综合属性。

L 属性的 SDD：既有综合属性，又有继承属性。

注释语法分析树：包含各个节点的各属性值（全部属性值）的语法分析树。

依赖图：描述了某棵特定的分析树上各个属性实例之间的信息流（计算顺序）。

例子：给出如下的产生式和语义规则，画出 3*5+4 的依赖图（表示结束）。

注：上图中把箭头去掉便是注释语法分析树。依赖图更多在既有综合属性又有继承属性的注释语法分析树中用到，例如：

设计 SDT

题型：给定一个含左递归的产生式，化为自顶向下可以分析的 SDD（提取左公因子，消除左递归），画出依赖图。

注意：记得用数字下标来区别一个产生式中相同的终结符！！第一个产生式（增广）可以没有。

后缀 SDT 的栈的实现

题型：基于栈写出对应 S 属性的 SDD 的动作，注意 top 减去的值。

E -> E1 + T 中的 top - 2 是因为运算符在栈中，= 左边的 top-2 对应 E（归约后），= 右边的 top-2 对应 E1。F -> ( E ) 的 top - 2 是因为被归约后 F 在 ‘(’ 的位置，就是 top-2。

SDD -> SDT

题型：给一段语言描述，将动作嵌入 SDD 中。或给出一个 L 属性的 SDD，转换为 SDT。

做法：

判断 SDD 中各属性是综合属性还是继承属性（即判断是S属性还是L属性）。

然后画流程图（这一步是关键，这步做对了后面不容易错）。

综合属性 -> 最右边, 继承属性 -> 紧挨着非终结符号的左边。

S.next = B 不能出现，左边是标签右边是非终结符不能赋值，解决办法：S.next = newlabel()，… || label(S.next) || B || …

注意：语义规则即 SDD 不需要写出动作嵌入的位置，而 SDT 需要写出动作嵌入的位置。

判断是否可以 在LL或LR分析过程中实现 ？

如果一个 L 属性的 SDD 的基本文法可以使用 LL 分析技术，那么它的 SDT 可以在 LL 或者 LR 语法分析过程中实现；

递归下降方法实现 L 属性的 SDD：

方法：先声明需要用到的变量，然后按照 SDT 的顺序书写代码即可。记得最后要 return 回放在式子最右端的 S.code

中间代码生成

有向无环图

题型：用 DAG 表示一个中缀表达式

注意：除了复用表达式之外，原子节点（例如这里的 ‘a’）也需要复用。

基本块的 DAG

题型：给出一段含数组的代码，要求画出数组引用的 DAG。

方法：图中只画 = 右边的式子，根节点为操作符，= 左边的左值写在根节点旁边。[]= 操作符有3个操作数，因为它的左值没法用一个变量表示，这三个操作数从左往右分别是：数组，下标，右值。

注意

对数组 a 的元素赋值，杀死所有依赖于 a 的变量。

如果出现对同一个元素的多次赋值，需要用下标区分！

对指针赋值，杀死前面所有的变量。

注意：如果特意强调“XX 变量在基本块出口处活跃”，那么说明考察知识点为重组基本块，原则是：尽量将公共子表达式的结果赋值给活跃的变量。可以删除赋值。

三元式

题型：给出一个表达式，填三元式的表。

易忘点：用编号引用一个式子的结果。

回填

记住：M 在 S 的前面。时将 M.instr 设置为下一条指令的地址。

回填：truelist 和 falselist 中记录的是需要填写的指令地址，backpatch 函数是将该 list 中的所有指令填上 M.instr。

SSA

注意：三地址码转换为 SSA 不仅要加下标，而且记得在标签处（即控制流合并处）添加函数。

运行时环境

活动记录

题型：给出一段函数，求运行到某条代码时的堆、栈，要求标明变量名和值。

活动记录的内容：实参，返回值，控制链，访问链，保存的机器状态，局部数据，临时变量。（7 个）

坑点：如果函数中有一句 static int x = 0; 那么变量 x 在静态数据区中，和 m 在一起。（静态数据区存放静态变量和全局变量）

引用计数和垃圾回收

题型：引用计数，画图。注意：leak 的变量不能删除，只删除指向的边即可。

标记-清扫式垃圾回收

标记：从根集开始，跟踪并标记出所有可达对象。

清扫：遍历整个堆区，释放不可达对象。

代码生成

基本块和流图（必考）

题型：三地址 -> 基本块 -> 流程图（Entry and Exit 节点）

基本块划分的方法：

寻找首指令：第一条指令；跳转指令的目标指令；跳转指令的下一条指令

划分基本块：[第一条首指令，下一条首指令)

写出入口 Entry 和出口 Exit！！

例题：

注意：这个流图不完整，需要加上入口 Entry 和出口 Exit。

寻找一个 block 中的一个程序点，哪些变量是活跃的（从后往前看）。如果有 *q = y，此后活跃变量为空集（肯定能知道 q 指向哪里除外）。

寄存器分配

题型：三地址码 -> 机器码 + 寄存器描述符和地址描述符

不用特意记忆机器码格式。考试时会给出。

概念

寄存器描述符：各个寄存器都存放了哪些变量的当前值。

地址描述符：某个变量的当前值存放在哪个或哪些位置（包括内存位置和寄存器）上。（同时在寄存器和内存中都要写！）

更新描述符的算法

LD R, x

R 的寄存器描述符：只含 x
x 的地址描述符：添加 R
从其他不同与 x 变量的地址描述符中删除 R

ST x, R

x 的地址描述符：添加内存

ADD Rx, Ry, Rz

Rx 的寄存器描述符：只含 x
x 的地址描述符：只含 Rx
从其他不同与 x 变量的地址描述符中删除 R

x = y

若生成 LD Ry, y，按照第一种情况处理
Ry 的寄存器描述符：添加 x
x 的地址描述符：只含 Ry

例题：

注意：a=d 这个赋值不要忘记在 R2 中添加 a。

STORE 指令存活跃变量时，只需要存全局变量（临时变量不用存）。看哪个全局变量的地址描述符只有寄存器，对其使用 ST 指令。地址描述符有内存的不需要存。

机器无关的优化

数据流分析（必考）

概述：

到达定值分析和可用表达式都是前向，活跃变量分析是后向。

前向分析的特点是 IN = 所有前驱的 OUT，后向分析的特点是 OUT = 所有后继的 IN（即算出来了就用）。

到达定值分析和活跃变量分析交汇运算都是并，可用表达式是交。

它们的传递函数都是：当前 - def/kill 再并上 use。

迭代次数不能超过基本块数量（一般是 2~3 次）

到达定值（最可能考）

gen 和 kill 的例子：

算法：gen 就是该基本块内对变量的定值，一般不会超过一次，直接无脑填上就可以。kill 是其他基本块对该变量的赋值。

例题：计算上图的到达定值。

考试时不会给出 gen 和 kill，需要自己计算。

活跃变量分析（很可能考）

use：在 B 中引用，但是引用前没有被定值。

def：在 B 中定值，但是定值前没有被引用。

因为该分析是倒序，考试时看清楚表格给的顺序。

例题：给出上图的 use def in out

可用表达式（不太可能考）

e_gen：基本块求值了 x+y，并且之后没有对 x 或 y 进行赋值，那么它生成了 x+y。

e_kill：基本块对 x 或 y 进行赋值，并且之后没有对 x+y 进行求值，那么它杀死了 x+y。

自然循环

题型：给定一个流图，寻找其中的循环。

支配：如果每一条从入口结点到达 n 的路径都经过 d，我们就说 d 支配 (dominate) n，记为d dom n。每个节点都支配自己。

直接支配节点：从入口结点到达 n 的任何路径（不含n）中，它是路径中最后一个支配 n 的结点。

流图边的分类

前进边：从结点 m 到达 m 在 DFS 树中的一个真后代的边。DFS 中的所有边都是前进边。

后退边：从 m 到达 m 在 DFS 树中的某个祖先的边。

交叉边：src 不是 dst 的祖先，dst 不是 src 的祖先。（即既不是前进边，也不是后退边）

回边：边 a->b，b dom a。所有的回边都是后退边，但后退边不全是回边（换句话说对于边 a->b，b 是 a 的祖先，但 b 不一定支配 a）。

可归约性：如果所有的后退边都是回边，则流图是可归约的。（实践中出现的流图基本都是可归约的）

流图的深度：各条无环路径上后退边数中的最大值。

自然循环（重要！！）：给定边 n->d 的自然循环指的是 d 加上不经过 d 就能到达 n 的节点集合。d 称为循环头。

根据上图，找出所有的自然循环。

回边 7->4: {4, 5, 6, 7, 8, 10}

回边 10->7: {7, 8, 10}

回边 8->3, 4->3: {3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

回边 9->1: 整个流图

LLVM IR

考试前看一眼。

芝士点

语法分析树：从非终结符号开始，直到推导出终结符号为止，没有其他信息。例子如下：

任何正则语言都有一个唯一的（不计同构）状态数目最少的 DFA。

不可达代码：理论上不会执行的代码。死代码：执行了不会产生效果的代码。

支配节点：D(n) 是支配 n 的节点，不是 n 支配的节点。

课后题 / 往年卷

最左推导和最右推导：

最右句型的句柄

最右句型指的是每次展开最右侧的非终结符，因此最右句型的句柄需要从左往右寻找第一个可以被归约的式子（因为最后一个被归约的一定是最左边的）。

通过继承属性向下传递，通过综合属性向上传递

注释语法分析树的简单例子

用继承属性解决左递归

构造 DAG 一定要尽可能利用节点！举一个例子：

四元式、三元式、间接三元式

三元式和间接三元式的区别是间接三元式有一个指向三元式的列表，这样一来，三元式中重复的部分就可以去掉。

易错点：

a = b + c 这种，需要先 + b c t1 然后 = t1 _ a

四元式中有 =[]，没有 []=。三元式只有 []。因为三元式只能有两个操作数。对数组元素的赋值，都需要先求 [] 出地址再进行赋值。

使用下图所示的方案翻译XXX，步骤：先构造三地址码，然后画出注释语法分析树，属性就按照方案中的来。

这道题记得减去一开始的偏移量 1 0 5

显示表：指针 d[i] 指向栈中最高的、嵌套深度为 i 的活动记录。

除主程序外，其余的表项在开头要写上调用的函数及实参值，第二行写 保存的d[i]，第三行留空（表示还有其余内容）。

基本块的 DAG：标好下标！！

对归纳变量进行强度削减，可以将乘法换为加法。并将循环不变表达式外提。

计算支配关系，是 D(B)，表示支配 B 的节点！！！！

概率论与数理统计—期末笔记

Tue, 07 Jan 2025 00:00:00 GMT

🗒️

这篇是南京大学概率论与数理统计 24 Fall 的期末复习笔记。

知识点

大数定律

描述：随机变量的平均值依概率收敛于它们数学期望的平均值。
公式

马尔可夫大数定律：设两两独立，均值的方差趋于 0（）。
切比雪夫大数定律：设两两独立，方差一致有界（存在常数，使得，对一切成立）。

证明：先证明上面那个结论，再通过切比雪夫不等式。

独立同分布大数定律：随机变量的平均值依概率收敛于这个分布的数学期望。
伯努利大数定律：n 重伯努利试验的频率趋向于该事件理论发生的概率。

中心极限定理

独立同分布的随机变量的和的极限分布是正态分布。

公式描述：

拉普拉斯中心极限定理：设为 n 次伯努利实验中事件发生的个数，则

（简单随机）样本：独立同分布的随机变量。

g 是样本的函数，且 g 不含未知参数，则 g 为统计量。

常用统计量

样本均值

样本方差后面这个变形比较关键。

二者关系：

k 阶（原点）矩：
样本 k 阶（原点）矩：，样本均值是样本 1 阶原点矩
k 阶中心距：
样本 k 阶中心距：，样本方差是样本 2 阶中心距

观测值就是将大写字母换成小写。

三大分布

分布

设相互独立，均服从，则服从自由度为 n 的分布，记为。
概率密度图：

分布的可加性：若，，则。

分布（Student 分布）

设，，相互独立，则

t 分布的密度函数关于 t = 0 对称。n 充分大时，密度函数接近于标准正态分布。

分位点的性质：。（和标准正态分布相同）。n 较大（> 45）时，可利用标准正态分布近似。

分布

设，，相互独立。则：

概率密度：

F 分布的分位点只有为小数值的情况，对于大的利用：即倒数 + 自由度反过来。

五个重要的分布：

样本均值服从正态分布

样本方差的分布

适用于未知的情况。

注：这里自由度为 n-1 是因为其中减的是样本均值，如果减的是真实的那么自由度为 n。

由前两个推得：未知用样本均值替代，但是分布变为分布。已知用第一个式子。

两总体样本方差比的分布

两总体样本均值差的分布若未知，则（用样本联合方差代替真实方差，则分布变为 t 分布）：其中联合方差：

点估计

矩估计

以样本矩作为总体矩的估计（=），从而得到参数的估计。
本质：构造 n 个方程并求解。
特例：若某个样本 k 阶原点矩为 0，则需要顺延利用下一个。
重要结论：无论总体服从何分布，均有：

相关系数的矩估计

极大似然估计

核心：构造似然函数 -> 此函数取最大值时的参数

方法：若有一个参数，则使用似然函数对该参数求导数，令导数 = 0。若有 k 个参数，则似然函数分别对这 k 个参数求偏导，令这些偏导都 = 0。有时为了方便求导会取对数。
极大似然估计的不变性（存疑，先这样记）：。条件是有单值反函数。

考试：是的极大似然估计，则是的极大似然估计。

特例：似然方程组无解时（单调），直接从函数本身分析，找好限制条件（自变量的取值范围）。
离散型通常不能将密度写作密度函数，因此只能求估计值，不能求估计量。

估计量的评选标准

无偏性

有效性

设是的无偏估计量，则方差小的更有效。
当是的无偏估计量时，均方误差准则与有效性一致。

区间估计

枢轴变量法：先找一个样本函数只包含待估参数，对于事先给定的置信度根据的分布寻找两个常数，使得，再根据不等式变形解出。
已知方差的单正态总体，置信度为的置信区间为：利用枢轴变量：

未知方差的单正态总体，置信度为的置信区间为：利用枢轴变量：

单正态总体，置信度为的置信区间为：注：这是一个概率对称的区间，并非最大。利用枢轴变量：

双正态总体，方差已知，置信度为的置信区间为：利用枢轴变量：

双正态总体，置信度为的置信区间为：利用枢轴变量：

假设检验

流程（以一道题为例）

一共 5 步：先写出假设 H0 和 H1，然后“若 H0 成立，”写出统计量及其服从的分布，然后写出拒绝域，再写出观测值，最后得出结论拒绝 / 接受 H0。

设假设的技巧：不论单边还是双边，H0 始终是等号 =，H1 分情况：若是双边检验，则为；若是单边检验，看题目描述，涉及质量标准的，将不合格设置为 H1，涉及评价性的（例如：能否认为 XXX），将 XXX 设置为 H1。
关于假设检验的五张表：

非正态总体的假设检验

核心思想：利用中心极限定理，将观测值近似看作标准正态分布，将方差近似用样本方差替代。

考试要写：由中心极限定理，XX 近似服从 XX

单总体均值：

当 n 充分大时，近似服从标准正态分布，按照 u 检验法检验即可。

双总体均值

当 n 充分大时，近似服从标准正态分布，按照检验法检验即可。

往年卷 / 注意事项

用到什么写什么。比如用到中心极限定理，要写：“由中心极限定理，XXX”；比如用到区间估计的公式，要把原始式子写上。

对数正态分布

概率密度函数

期望

计算要点：将平方里面的整体换元。

方差

求极大似然估计：取对数即可。

分布与分布的考察

本题的求解思路是设，求出 Z 的分布函数，最终发现 Z 服从参数为的指数分布。

求一长串式子服从什么分布，一定要说明一下上下两个是独立的！！

用到不变性要强调一下单调函数。

高程Project设计与思考

Mon, 24 Mar 2025 00:00:00 GMT

💡

本文是南京大学计科高级程序设计 25 spring 期末大作业的设计，及助教过程中的思考。笔者在 24 spring 修读本课程，取得了 90 分的成绩，在 25 spring 担任这门课的助教，并完全负责期末大作业的设计工作。

先奉上 GitHub 仓库：

Kniflash

Aryxis • Updated Apr 8, 2026

期末大作业的设计

本门课程的期末大作业，按照往届惯例，是用 Qt/C++ 开发一个小游戏。不过，作业为助教负责布置，助教们也没什么时间把心思放在游戏 idea 上，所以基本上是借鉴现有的游戏，进行阉割或改编。我修读的 24 spring 是一个塔防游戏，之前还做过异形工厂、环世界什么的。

上次修读时，期末那一个月基本上全是在赶这个作业，给我留下了不小的心理阴影。这学期轮到我来设计，肯定要给学弟学妹们手下留情，因此我在写大作业文档时遵守这些规则：

难度一定要适中，并且尽量控制开放程度。期末大作业依托课程设计，目的在于锻炼编程能力而不是游戏开发能力，甚至 Qt 也不是必须的（只是为了学习面向对象编程）。这只是一个作业而已，上学期我花了太多时间在这个上面，我不希望这个作业影响到同学们的心理健康。

描述一定要精准。尽量不出现歧义，CS 尤其是 OJ 描述极有可能出现歧义，导致 100 个人写出 100 个实现。虽然这是一个项目，可以有一定程度的自由发挥，但是在具体得分的地方还是尽可能精准为好。

尽力让做完项目的同学收获更多东西。此时我也只是一个大二学生，编程才刚学一年多，因此论知识可能不比来上课的同学丰富，仅仅比他们多上了一年学而已，大部分都是现学现卖。

首先是游戏 idea，本次项目选择了“转刀游戏”这个主题，借鉴了逛 CrazyGames 时遇到的一个挺好玩的游戏（点此体验）。这个游戏界面简单，玩法丰富，很适合拿来做期末项目😋。

然后就是项目设计了。我参考了往届的两个项目手册，并砍掉了一些个人觉得不太必要的地方（比如强制使用异常处理）。至于难度方面，这个就见仁见智了，我只能说从零开始熟悉一个库并用它来做项目着实不易，但是这门课向来如此，每年的期末大项目都是用 Qt 写游戏，我能做的就是深度体验这个游戏，仔细斟酌手册中描述的每一句话，尽可能做到循序渐进和没有歧义。由于手册写得有一些长，为了让同学们在实现时快速抓住重点，我在每一章的结尾都写了一个任务清单，保证评分标准公开透明。

为了让同学们学到更多东西，我也是将上大学以来积攒的经验在手册里倾囊相授了。首先是 Markdown，这几乎是对我本人影响最大的一门语言了，改变了我记录和思考的方式。大一上的时候我还拿着平板在写写画画，从大一下开始我每天都会面对数个 Markdown 文件，通过 Typora 进行写作（typoraA new way to read & write Markdown

A new way to read & write Markdown

Typora is a cross-platform minimal markdown editor, providing seamless experience for both markdown readers and writers.

是我最喜欢的 Markdown 写作工具，也是我认为买的最值的软件）。关于这个项目，我引入 Markdown 的方式是项目文档，通过让学生写项目文档来熟悉 Markdown。项目文档的要求来自 Project 2: Gitlet | CS 61B Spring 2021

Project 2: Gitlet | CS 61B Spring 2021

Computer Science 61B: Data Structures

。

其次是 clang-format 自动格式化代码。这个工具我第一次知道时惊为天人，世界上竟然还有如此之工具，我立刻在所有 C/C++ 仓库都加上了 .clang-format 文件。有一个 formatOnSave 的格式化工具，真的可以减轻很多编码负担。

最后，是关于如何学好 CS 的一点点经验。当了助教才发现，有相当一部分不是计科的同学来选修这门课，他们可能之前只有一点基础，想通过这门课程学 C++（傻孩子们，快跑吧），因此更需要让学生们了解一下 CS 的“自学传统”和”提问技巧“这两个问题。

综上，这也算是我一个挺用心的项目手册了，在具体实施时确实获得了同学们的好评。我也通过书写手册了解了很多东西，算是用心投入的回报吧。下面附上手册的最终版：

关于这门课的一些思考

高级程序设计这门课，其实一直以来都风评褒贬不一，劝退力度很大，知乎上甚至有拖了好几个学期也不敢来上的同学。究其原因，我认为是这门课程的教学方法有一些问题。作为大一下开展的一门编程课，其 OJ 基本上全是数据结构与算法的内容。课堂讲 C++ 编程语言，OJ 来写算法题，本身是比较割裂的。另一方面，OJ 和项目全为助教负责，导致难度完全取决于助教的心情和水平。而这门课的学生呢？跨专业的就不说了，CS 本院学生，如果没有基础的话，大部分只学过微积分和一点点编程。大一上的程序设计基础（C 语言）和 SICP (Python) 是二选一，如果选择了 SICP，那确实得到了不小的训练，但是这些同学可能连 C++ stl 都不会用，怎么会写算法题。听说 26 spring 这门课变成必修的，而且 OJ 全程断网在机房限时做，对同学们的要求更高了。作为曾经的助教，肯定是希望这门课程越来越好，可现实是这种模式在很长一段时间都不会有所改观，每年一换的助教也使得每次 OJ 和项目的方差较大。只能期待 jyy 的教改大手颠覆呢喃 CS 的教学体系了（bushi）。

图论与算法—期末笔记

Mon, 26 May 2025 00:00:00 GMT

🗒️

这篇文章是南京大学图论与算法 (GTA) 的期末复习笔记。

1 概念题

图的点数 n，边数 m

度：一个顶点所连接的边的数量。最大度，最小度。

离心率：ecc(v) 指的是 v 到所有顶点的距离的最大值

中心点：离心率最小的顶点；半径：中心点的离心率

边缘点：离心率最大的顶点；直径：边缘点的离心率

点连通度：使图不连通或退化为单个顶点所需删除的最少顶点数，

k-连通图指的是 k 点连通

边连通度：使图不连通所需删除的最少边数，

结论：简单连通图

二分图：没有奇圈

边独立数：最大匹配的边数（即无公共顶点的边集合的最大大小）

边覆盖数：覆盖所有顶点的最小边集合的大小

边支配数：最小的边集合，使得图中每条边要么属于该集合，要么与它邻接

点独立数：最大独立集的顶点数（即没有边连接的顶点集合的最大大小）

点覆盖数：覆盖所有边的最小顶点集合的大小

点支配数：最小的顶点集合，使得图中每个顶点要么属于该集合，要么与它邻接

边色数：给图的边着色所需的最小颜色数，使得相邻边颜色不同

点色数：给图的顶点着色所需的最小颜色数，使得相邻顶点颜色不同

Vizing 定理：

平面图：嵌入平面中，使得任何两条边不相交

判定的充要条件：平面图 $$ 不包含与或同胚的子图

平面图的欧拉公式：其中顶点数为 n，边数为 m，面数为 f，连通分支数为 k

简单连通平面图：

无的简单连通平面图：

对偶图：可平面图的对偶图

顶点集：所有的面

每条边（可能有重边）：

如果原图中的某条边在两个面的边界中，那么在对偶图中这两个面对应的顶点有一条边
如果原图中的某条边在一个面的边界中，那么对应一个自环

2 3 书中原题

证明边数不小于点数的图都有圈（逐步删去度为 1 的顶点）。

证明最小度不小于 2 的图都有圈（从某个顶点出发的路可以一直延伸。由于顶点数量有限，所以一定会经过访问过的顶点，从而成环）。

证明最小度不小于 k 的图都有至少 k+1 个点的圈（构造法）。

证明 2-正则图点连通度等于边连通度（边连通度为 2. 点连通度构造得 <=2, 然后由于 2-正则图，因此任意两个顶点有两条不交路。>=2）。

证明往点连通度为 p 的图加个点，这个点任意和其他 p 个点连边得到的新图点连通度和原图相同（trivial）。

4 必考算法

二分图最大匹配的匈牙利算法和 HK 算法（书 59 页）

匈牙利算法 (P60)：

思路：对左侧（X 集合）未匹配的点进行 DFS 找增广路，每次 do while 循环只找一条。

HK 算法

思路：每次 do while 循环从左侧（X 集合）未匹配的点开始，进行 BFS。当找到第一条增广路时，记录其长度 d，并将终点加入 Y’ 集合中。当 BFS 的距离大于 d 时终止。然后从 Y’ 中的顶点按照 d 递减的顺序找到互不相交的增广路，同时进行增广。

知识点

迹：边不重复出现的路线

路：点不重复出现的迹

割点的充要条件：对于连通图和顶点，v 是 G 的割点当且仅当存在 V 的两个不相交的非空子集 Vi 和 Vj，对于任意顶点和，每条 u-w 路都经过 v.

Algorithms

Tarjan 算法求割点（P19）

DFS 魔改

重要数据结构：dfn low 数组

dfn 数组记录每个节点的 DFS 序。有一个全局变量 time，每当 DFS 访问到一个节点 u，更新 dfn 数组为 dfn[u]=++time

low 数组记录每个节点不经过父节点（父节点指的是 DFS Tree 中的父节点），可以到达的节点中，dfn 最小的一个。在两处更新该数组：1. 当 DFS 递归调用结束时更新，也就是一个节点的 low 值是其所有子节点的 low 值的最小值。2. 当遇到回边（即边的终点是访问过的顶点）时更新为当前 low 和该顶点 dfn 的较小者。

判定：

根节点：有两个以上的子树，则是割点

其他节点：对边，v 为 u 在 DFS Tree 中的子节点，low[v] >= dfn[u]，u 是割点。（割开了以 v 为根的子树和 u 的 parent）

寻找欧拉迹

Fleury 算法

一句话总结：从奇度顶点出发（如果有），避免选择割边。

Hierholzer 算法

一句话：闭迹拼接

二级结论

阶 ≥ 2 的简单图，至少有两个点的度相同。

若 G 连通，则 G 补图可能连通可能不连通。若 G 不连通，则 G 补图一定连通。

若顶点 v 是 G 的割点，v 不是 G 补图的割点。

连通图的距离函数满足三角不等式。

连通图的两个顶点 u v，

连通图 G：

二分图 G 连通当且仅当顶点集的划分唯一。

圈图的补图一定有哈密尔顿回路（n ≥ 5）。证明：n = 5 使用特判，n ≥ 6 使用 Dirac 定理或 Ore 定理。

Dirac 定理：若 G 的每个顶点度数至少为，则 G 是哈密尔顿图

Ore 定理：若 G 中任意两个不相邻的顶点度数之和至少为 n，则 G 是哈密尔顿图。

若连通，求和 . (最大减少多少？)