📈概率论与数理统计—期末笔记

知识点

1. 大数定律
1. 描述：随机变量的平均值依概率收敛于它们数学期望的平均值。
2. 公式
3. 马尔可夫大数定律：设 两两独立，均值的方差趋于 0（）。
4. 切比雪夫大数定律：设 两两独立，方差一致有界（存在常数 ，使得 ，对一切 成立）。
证明：先证明上面那个结论，再通过切比雪夫不等式。
5. 独立同分布大数定律：随机变量的平均值依概率收敛于这个分布的数学期望。
6. 伯努利大数定律：n 重伯努利试验的频率趋向于该事件理论发生的概率。

2. 中心极限定理
1. 独立同分布的随机变量的和的极限分布是正态分布。
• 公式描述：
2. 拉普拉斯中心极限定理：设 为 n 次伯努利实验中事件发生的个数，则

3. （简单随机）样本：独立同分布的随机变量。

4. g 是样本的函数，且 g 不含未知参数，则 g 为统计量。

5. 常用统计量
1. 样本均值
2. 样本方差 后面这个变形比较关键。
3. 二者关系：

6. 矩
1. k 阶（原点）矩：
2. 样本 k 阶（原点）矩：，样本均值是样本 1 阶原点矩
3. k 阶中心距：
4. 样本 k 阶中心距：，样本方差是样本 2 阶中心距

7. 观测值就是将大写字母换成小写。

8. 三大分布
1. 分布
1. 设 相互独立，均服从 ，则 服从自由度为 n 的 分布，记为 。
2. 概率密度图：
3. 分布的可加性：若 ，，则 。
2. 分布（Student 分布）
1. 设 ，， 相互独立，则
2. t 分布的密度函数关于 t = 0 对称。n 充分大时，密度函数接近于标准正态分布。
3. 分位点的性质：。（和标准正态分布相同）。n 较大（> 45）时，可利用标准正态分布近似 。
3. 分布
1. 设 ，， 相互独立。则：
2. 概率密度：
3. F 分布的分位点只有 为小数值的情况，对于大的 利用： 即倒数 + 自由度反过来。

9. 五个重要的分布：
1. 样本均值服从正态分布
2. 样本方差的分布
适用于 未知的情况。
注：这里自由度为 n-1 是因为其中减的是样本均值，如果减的是真实的 那么自由度为 n。
3. 由前两个推得： 未知用样本均值替代，但是分布变为 分布。 已知用第一个式子。
4. 两总体样本方差比的分布
5. 两总体样本均值差的分布 若 未知，则（用样本联合方差代替真实方差，则分布变为 t 分布）： 其中联合方差：

10. 点估计
1. 矩估计
1. 以样本矩作为总体矩的估计（=），从而得到参数的估计。
2. 本质：构造 n 个方程并求解。
3. 特例：若某个样本 k 阶原点矩为 0，则需要顺延利用下一个。
4. 重要结论：无论总体服从何分布，均有：
5. 相关系数的矩估计
2. 极大似然估计
1. 核心：构造似然函数 -> 此函数取最大值时的参数
2. 方法：若有一个参数，则使用似然函数对该参数求导数，令导数 = 0。若有 k 个参数，则似然函数分别对这 k 个参数求偏导，令这些偏导都 = 0。有时为了方便求导会取对数。
3. 极大似然估计的不变性（存疑，先这样记）：。条件是有单值反函数 。
考试： 是 的极大似然估计，则 是 的极大似然估计。
4. 特例：似然方程组无解时（单调），直接从函数本身分析，找好限制条件（自变量的取值范围）。
5. 离散型通常不能将密度写作密度函数，因此只能求估计值，不能求估计量。
3. 估计量的评选标准
1. 无偏性
2. 有效性
1. 设 是 的无偏估计量，则方差小的更有效。
2. 当 是 的无偏估计量时，均方误差准则 与有效性一致。

11. 区间估计
1. 枢轴变量法：先找一个样本函数 只包含待估参数，对于事先给定的置信度根据 的分布寻找两个常数 ，使得，再根据不等式变形解出。
2. 已知方差的单正态总体， 置信度为 的置信区间为： 利用枢轴变量：
3. 未知方差的单正态总体， 置信度为 的置信区间为： 利用枢轴变量：
4. 单正态总体， 置信度为 的置信区间为： 注：这是一个概率对称的区间，并非最大。利用枢轴变量：
5. 双正态总体，方差已知， 置信度为 的置信区间为： 利用枢轴变量：
6. 双正态总体， 置信度为 的置信区间为： 利用枢轴变量：

12. 假设检验
1. 流程（以一道题为例）





一共 5 步：先写出假设 H0 和 H1，然后“若 H0 成立，”写出统计量及其服从的分布，然后写出拒绝域，再写出观测值，最后得出结论拒绝 / 接受 H0。
2. 设假设的技巧：不论单边还是双边，H0 始终是等号 =，H1 分情况：若是双边检验，则为 ；若是单边检验，看题目描述，涉及质量标准的，将不合格设置为 H1，涉及评价性的（例如：能否认为 XXX），将 XXX 设置为 H1。
3. 关于假设检验的五张表：











4. 非正态总体的假设检验
1. 核心思想：利用中心极限定理，将观测值近似看作标准正态分布，将方差近似用样本方差替代。
考试要写：由中心极限定理，XX 近似服从 XX
2. 单总体均值：
当 n 充分大时， 近似服从标准正态分布，按照 u 检验法检验即可。
3. 双总体均值
当 n 充分大时， 近似服从标准正态分布，按照 检验法检验即可。

往年卷 / 注意事项

1. 用到什么写什么。比如用到中心极限定理，要写：“由中心极限定理，XXX”；比如用到区间估计的公式，要把原始式子写上。

2. 对数正态分布
1. 概率密度函数
2. 期望
计算要点：将平方里面的整体换元。
3. 方差
4. 求极大似然估计：取对数即可。

3. 分布与 分布的考察



本题的求解思路是设 ，求出 Z 的分布函数，最终发现 Z 服从参数为 的指数分布。

4. 求一长串式子服从什么分布，一定要说明一下 上下两个是独立的！！

5. 用到不变性要强调一下单调函数。